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～双曲平面一様充填形の世界～

Last update: 2012/07/01

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はじめに

双曲平面一様充填形

(p,q,r) を基本とする一様充填形
(p,q,r,...,s) を基本とする一様充填形
複合型の一様充填形

一様充填形に関する話題

双曲平面一様充填形

(p,q,r) を基本とする一様充填形

内角が π/p,π/q,π/r (p,q,r は整数) であるような球面/ユークリッド平面/双曲平面上の三角形 (p,q,r) を基本とする一様充填形。 p,q,r 回の回転対称性を持つ。

(2,2,p) を基本とする一様充填形
(2,2,p) を基本とする一様充填形は正多角柱(Prisms)または正多角反柱(Antiprisms) となります。
(2,3,p) を基本とする一様充填形
(2,3,p) を基本とする一様充填形のうち、 (2,3,3), (2,3,4) または (2,3,5) を基本とするものは一様多面体に、 (2,3,6) を基本とするものはユークリッド平面一様充填形に、それ以外 (2,3,p>=7) を基本とするものは双曲平面一様充填形になります。
(2,p,q) を基本とする一様充填形
(2,p>=4,q>=4) を基本とする一様充填形のうち、 (2,4,4) を基本とするものはユークリッド平面一様充填形に、それ以外を基本とするものは双曲平面一様充填形になります。
(p,q,r) を基本とする一様充填形
(p>=3,q>=3,r>=3) を基本とする一様充填形のうち、 (3,3,3) を基本とするものはユークリッド平面一様充填形に、それ以外を基本とするものは双曲平面一様充填形になります。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
- 特殊な凸でない(non-convex)一様充填形

(p,q,r,...,s) を基本とする一様充填形

内角が π/p,π/q,π/r,...,π/s (p,q,r,...,s は整数) であるような球面/ユークリッド平面/双曲平面上の多角形 (p,q,r,...,s) を基本とする一様充填形。 p,q,r,...,s 回の回転対称性を持つ。
記号は、独自の拡張 Wythoff 記号を使っています。

(p,q,r,s) を基本とする一様充填形
(p>=2,q>=2,r>=2,s>=2) を基本とする一様充填形のうち、 (2,2,2,2) を基本とするものはユークリッド平面一様充填形に、それ以外を基本とするものは双曲平面一様充填形になります。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
- 特殊な凸でない(non-convex)一様充填形
   (2012/07/01)
(p,q,r,s,...,t) を基本とする一様充填形
- 一般的な凸な(convex)一様充填形

複合型の一様充填形

ユークリッド平面/双曲平面上には上記の様な多角形を基本としない "複合型" の一様充填形が存在します。全て、変形面(snub faces)を持つ変形(snub)一様充填形です。また、たった一つのユークリッド平面上の特殊な一様充填形を除き、全て凸な(convex)一様充填形です。
記号は、独自の拡張 Wythoff 記号を使っています。

|p q (r|s)
頂点図形が [p,3,q,3,2*s,r,2*s,3] である様な一様充填形。 |p q * と * r|s の２種類のタイプのものが複合した一様充填形です。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
  このタイプには、ユークリッド平面上にも一つだけ一様充填形があります。
- 特殊な凸でない(non-convex)一様充填形
  このタイプには、ユークリッド平面上に、９つの凸でない(non-convex)一様充填形があります。
  
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|p q r|s
頂点図形が [p,3*s,q,3*s,r,3*s] である様な一様充填形。変形面(snub faces)が(通常の三角形ではなくて) 3*s 角形であるような一様充填形です。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
p|(|q r s)
頂点図形が p*[q,3,r,3,s,3] である様な一様充填形。一様充填形 |q r s (頂点図形が [q,3,r,3,s,3]) を、頂点の周りで p 回 繰り返した形です。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
|p (q r|)
頂点図形が [p,4,2*q,2*r,4] である様な一様充填形。正方形を変形面(snub faces)とする変形(snub)充填形の一種です。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
さらに複雑なもの
上記のタイプを複合させて、さらに複雑な一様充填形を構築する事が出来ます。特に、複数種類の変形面(snub faces)を持つものは、一般形を記号で記述することすら困難です。
- 一般的な凸な(convex)一様充填形
- 特殊な凸でない(non-convex)一様充填形
  このタイプには、ユークリッド平面上に、４つの凸でない(non-convex)一様充填形があります。
  
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