複合型の一様充填形

はじめに

(p,q,r) を基本とする一様充填形

(p,q,r,...,s) を基本とする一様充填形

複合型の一様充填形

• |p q (r|s)
  頂点図形が [p,3,q,3,2*s,r,2*s,3] である様な一様充填形。 |p q * と * r|s の２種類のタイプの ものが複合した一様充填形です。
  一般に |(p1|q1 ...) (p2|q2 ...) ... (pN|qN ...) と拡張できて、この場合の頂点図形は、 [...,2*q1,p1,2*q1,..., N, ...,2*q2,p2,2*q2,..., N, ..., ...,2*qN,pN,2*qN,..., N] です。
  • 一般的な凸な(convex)一様充填形
    このタイプには、 ユークリッド平面上にも一つだけ一様充填形があります。

    |2 2 (2|2) [3,3,3,4,4]

    |2 2 (2|3) [3,3,3,6,6]

    |2 2 (3|2) [3,3,3,4,3,4]

    |2 3 (2|2) [3,3,3,3,4,4]

  • 特殊な凸でない(non-convex)一様充填形
    このタイプには、 ユークリッド平面上に、９つの 凸でない(non-convex)一様充填形があります。

    [3,3,3,4/3,4/3]	[3/2,Inf,3/2,Inf, 3/2,4,4]	[3/2,Inf,3/2,Inf, 3/2,4/3,4/3]
    [3/2,Inf,3/2,Inf, 3/2,12/5,6,12/5]	[3/2,Inf,3/2,Inf, 3/2,12/7,6/5,12/7]	[3/2,Inf,3/2,Inf, 3/2,12,6/5,12]	[3/2,Inf,3/2,Inf, 3/2,12/11,6,12/11]
    [3/2,Inf,3/2,4/3,4/3, 3/2,4/3,4/3]	[3/2,Inf,3/2,4,4, 3/2,4,4]

    →  [3,3,3,4,4], [3,3,3,4/3,4/3] について
    →  [3/2,Inf,3/2,Inf,3/2,4,4], [3/2,Inf,3/2,Inf,3/2,4/3,4/3] について
    →  [3/2,Inf,3/2,Inf,3/2,12/5,6,12/5], [3/2,Inf,3/2,Inf,3/2,12/7,6/5,12/7], [3/2,Inf,3/2,Inf,3/2,12,6/5,12], [3/2,Inf,3/2,Inf,3/2,12/11,6,12/11], [3/2,Inf,3/2,4/3,4/3,3/2,4/3,4/3], [3/2,Inf,3/2,4,4,3/2,4,4] について

• |p q r|s
  頂点図形が [p,3*s,q,3*s,r,3*s] である様な一様充填形。 変形面(snub faces)が(通常の三角形ではなくて) 3*s 角形であるような一様充填形です。
  一般に |p1 p2 ... pN|s と拡張できて、この場合の頂点図形は、 [p1,N*s,p2,N*s,..,N*s,pN,N*s] です。
  • 一般的な凸な(convex)一様充填形

    |2 2 3|2 [3,6,6,6]

    |2 2 4|2 [4,6,6,6]

    |2 3 3|2 [3,6,3,6,6]

    |2 3 4|2 [3,6,4,6,6]

• p|(|q r s)
  頂点図形が p*[q,3,r,3,s,3] である様な一様充填形。 一様充填形 |q r s (頂点図形が [q,3,r,3,s,3]) を、 頂点の周りで p 回 繰り返した形です。
  一般に p|(|q1 q2 ... qN) と拡張できて、この場合の頂点図形は、 p*[q1,N,q2,N,..,N,qN,N] です。
  • 一般的な凸な(convex)一様充填形

    2|(|2 2 4) 2*[3,3,3,4]

    2|(|2 3 4) 2*[3,3,3,3,4]

    3|(|2 2 4) 3*[3,3,3,4]

• |p (q r|)
  頂点図形が [p,4,2*q,2*r,4] である様な一様充填形。 正方形を変形面(snub faces)とする変形(snub)充填形の一種です。
  一般に |p1 p2 ... pN-1 (q r ...|) と拡張できて、この場合の頂点図形は、 [p1,2*N,p2,2*N,..,2*N,pN-1,2*N,2*q,2*r,...,2*N] です。

  ※ このタイプは変形面に鏡像対象性があるので、 鏡像変形(mirror snub)充填形と私は呼んでいます。

  • 一般的な凸な(convex)一様充填形

    (|2 (2 2|)) => 4|2 4 [4,4,4,4]

    |2 (2 3|) [4,4,4,6]

    (|3 (2 2|)) => 2 3|2 2 [3,4,4,4,4]

    |3 (2 3|) [3,4,4,6,4]

• さらに複雑なもの
  上記のタイプを複合させて、さらに複雑な一様充填形を 構築する事が出来ます。 特に、複数種類の変形面(snub faces)を持つものは、 一般形を記号で記述することすら困難です。
  • 一般的な凸な(convex)一様充填形
    → 頂点図形が同じである複数の一様充填形について

  • 特殊な凸でない(non-convex)一様充填形
    このタイプには、 ユークリッド平面上に、５つの 凸でない(non-convex)一様充填形があります。

    [3/2,Inf,3/2,4,4, 3/2,4/3,4/3]

    [4,Inf,4/3, 8/3,4,8/3]

    [4,Inf,4/3, 8,4/3,8]

    [4,Inf,4/3, 8/3,8]

    [4,Inf,4/3, 8,8/3]

    →  [3/2,Inf,3/2,4,4,3/2,4/3,4/3] について
    →  [4,Inf,4/3,8/3,4,8/3], [4,Inf,4/3,8,4/3,8], [4,Inf,4/3,8/3,8], [4,Inf,4/3,8,8/3] について