では、３次元以上の高次元の双曲空間ではどうでしょうか。 高次元正充填形(正多面体)については完全に調べられており、 例えば、曲率が正の３次元双曲空間(４次元超球の球面上)では ４次元正多胞体(Regular Polychora)が星形のものを含め １６種類も構築できます。 しかし、それ以上の次元では正多胞体(Regular Polytopes)は、 各次元に３個ずつしかありません。 また、曲率が 0 の双曲空間(ユークリッド空間)や 曲率が負の双曲空間(狭義の双曲空間)でも、 幾つかの星形正充填形を含む高次元正充填形が 構築可能なことが分かっています。
しかしながら、一様充填形(一様多胞体)については、 あまり研究されていないようです。 例えば、４次元一様多胞体(Uniform Polychora)は 少なくとも 8190 個ある [members.aol.com/hedrondude/polychora.html] ようですが、これで全てかは分かっていません。 さらに高次元の場合は、凸なものについてでさえ 次元があがるとその種類が爆発的に増えるのと、 我々３次元に住む者にとっては図形を直感的に把握するのが 困難であるため、ほとんど研究されていないのではと思います。 (少なくとも Web 上にまとまった情報は無いと思います。)
そうしたこともあり、高次元一様充填形(一様多面体)、 特に４次元一様多胞体についても サイトを作りたいのですが、PC (たかだか２次元)上に表示することが 困難を極める(ほとんど不可能)ので、二の足を踏んでいます。
| 次元 | (曲率) | 型 | 個数 | Schläfli の記号 | ||
| 1 | 球面(正) | ∞ | ∞ | |||
| 星形 | ∞ | |||||
| 平面(0) | 1 | 1 | ||||
| 双曲平面(負) | 0 | |||||
| 2 | 球面(正) | 9 | 5 | |||
| 星形 | 4 | |||||
| 平面(0) | 3 | 3 | ||||
| 双曲平面(負) | 有限型 | ∞ | ∞ | |||
| 星形 | ∞ | |||||
| 半無限型 | ∞ | ∞ | ||||
| 双無限型 | 1 | 1 | ||||
| 3 | 球面(正) | 16 | 6 | |||
| 星形 | 10 | |||||
| 平面(0) | 1 | 1 | ||||
| 双曲平面(負) | 有限型 | 4 | 4 | |||
| 星形 | 0 | |||||
| 半無限型 | 6 | 6 | ||||
| 双無限型 | 3 | 3 | ||||
| 4 | 球面(正) | 3 | 3 | |||
| 星形 | 0 | |||||
| 平面(0) | 3 | 3 | ||||
| 双曲平面(負) | 有限型 | 9 | 5 | |||
| 星形 | 4 | |||||
| 半無限型 | 2 | 2 | ||||
| 双無限型 | 0 | 0 | ||||
| 5 | 球面(正) | 3 | 3 | |||
| 星形 | 0 | |||||
| 平面(0) | 1 | 1 | ||||
| 双曲平面(負) | 有限型 | 0 | 0 | |||
| 星形 | 0 | |||||
| 半無限型 | 2 | 2 | ||||
| 双無限型 | 3 | 3 | ||||
| 球面(正) | 3 | 3 | ||||
| 星形 | 0 | |||||
| 平面(0) | 1 | 1 | ||||
| 双曲平面(負) | 有限型 | 0 | 0 | |||
| 星形 | 0 | |||||
| 半無限型 | 0 | 0 | ||||
| 双無限型 | 0 | 0 | ||||