Part 1 · 確率・統計

1.3 確率分布

二項・ポアソン・正規分布 ——「どの結果が、どれくらい起きやすいか」の一覧表

読了目安 10分前提：1.1 確率とは何か、0.2 数式の読み方▶ 動画（約5分）

この回で分かること

確率分布 を「起こりうる結果と、その起きやすさの一覧」として説明できる
二項分布・ポアソン分布・正規分布の違いと、使い分けの目安を説明できる
試験の成功回数、事故や介入の回数、センサの誤差を、どの分布で表すか判断できる

直感で理解する

歩行者を検出する機能を、歩行者が出てくる同じ場面で 10回 試験するとします。この検出器の実力は「1回あたり90%の確率で検出できる」ものだとします。10回の試験で、何回検出できるでしょうか。

「9回」と答えたくなりますが、実際の結果は毎回ばらつきます。起こりうる結果と、それぞれの確率を並べると次のようになります。

いちばん起きやすいのは9回（約39%）で、10回すべて成功するのは約35%しかない。

このように「起こりうる結果」と「その起きやすさ」を一覧にしたものを 確率分布 と呼びます。実力90%の検出器でも、10回すべて成功するのは3回に1回ほど。逆に言えば、10回全勝したからといって「実力は100%」とは言えません（1.8 と同じ考え方です）。

確率分布にはたくさんの種類がありますが、このサイトでよく使うのは次の3つです。

二項分布：決まった回数の試行で、何回成功するか
ポアソン分布：一定の距離や時間の中で、稀な出来事が何回起きるか
正規分布：測定値が平均のまわりにどうばらつくか

数式で確かめる

① 二項分布：n回のうち、何回成功するか

成功確率 $p$ の試行を $n$ 回くり返したとき、成功回数 $X$ がちょうど $k$ 回になる確率は次の式で表せます。ここでは、各回の結果が互いに無関係で、毎回同じ確率 $p$ だと仮定します。

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}$$

$p^k$ は「k 回成功する」確率、$(1-p)^{n-k}$ は「残りが失敗する」確率、$\binom{n}{k}$（n 個から k 個を選ぶ組合せの数）は「何回目に成功するか」の並べ方の数です。たとえば 10 回中 9 回成功する並べ方は、失敗する1回が何回目かで決まるので 10 通りです。

$$P(X = 9) = 10 \times 0.9^9 \times 0.1 \approx 0.387$$

平均的な成功回数は $np = 10 \times 0.9 = 9$ 回です。

② ポアソン分布：稀な出来事が何回起きるか

試行回数 $n$ がとても大きく、1回あたりの確率 $p$ がとても小さい場合を考えます。たとえば「1 km 走るごとに事故が起きるかどうか」を何万 km ぶん数えるような場合です。このとき二項分布は、平均回数 $m = np$ だけで決まる形に近づきます。これが ポアソン分布 です。

$$P(N = k) = \frac{m^k e^{-m}}{k!}$$

$k!$（k の階乗）は $k \times (k-1) \times \cdots \times 1$ のことで、$0! = 1$ と決めます。k = 0 を入れると $P(N=0) = e^{-m}$。これが 1.8 で「事故ゼロで終わる確率」として使った式です（m = 事故率 λ × 走行距離 d）。

例：試験車両で、安全のためにドライバーが運転を代わる「介入」が 平均して1日2回 起きているとします（m = 2）。1日の介入回数の分布は次のとおりです。

1日の介入回数	0回	1回	2回	3回	4回	5回以上
確率	13.5%	27.1%	27.1%	18.0%	9.0%	5.3%

平均2回のペースでも、介入ゼロの日がおよそ7日に1日はあります。「今日は介入ゼロだった」だけでは、システムが改善したとは言えない理由がここにあります。

ポアソン分布には、安全の計算でよく使う性質が3つあります。

率は足せる：原因ごとの発生率（1 km あたり）が互いに独立なら、全体の率はそのまま足し算です。トリガー条件ごとの率を足して全体の率を出す計算（5.2）はこれを使っています。
ばらつきは √平均：ポアソン分布の分散は平均 m に等しく、標準偏差は $\sqrt{m}$ です。月に平均 10 件のヒヤリハットなら、何も変わっていなくても ±3 件（≈ √10）はふつうにぶれます。市場での監視で警報を出す線を「平均＋ 3√平均」に引くのはこのためです（5.11）。
次に起きるまでの待ち時間：率 $\lambda$ が一定なら、時間 t の間に 1 件も起きない確率は $e^{-\lambda t}$ です（待ち時間は指数分布に従います）。機能安全で使う故障率の単位 FIT（10 億時間に 1 件）もこの率で、10 FIT の部品を 100 万台に載せて 1 年（走行約 1,000 時間）使うと、期待される故障は 10⁻⁸ × 10⁶ × 10³ ＝ 10 件です（4.7）。

③ 正規分布：測定値のばらつきを表す山

測定の誤差のように、多くの小さな要因が重なって生じるばらつきは、平均 $\mu$（ミュー）を中心とした左右対称の釣り鐘型になることがよくあります。これが 正規分布（ガウス分布）です。形は平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$（ばらつきの大きさ。1.4 で詳しく扱います）の2つだけで決まります。

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

この式は覚えなくて大丈夫です。回数ではなく長さのような連続的な値では、確率は「山の下の面積」で表します。覚えておきたいのは、次の図の3つの数字です。

濃い部分が平均 ±σ の範囲（約68%）、薄い部分まで含めると ±2σ の範囲（約95%）。±3σ の外に出るのは約0.27%だけ。

例：LiDAR の距離測定の誤差が、平均0・標準偏差 σ = 2 cm の正規分布に従うとします。95% の測定は ±4 cm 以内に収まり、±6 cm（3σ）の外に出るのは約0.27%だけです。ただし、0.27% は小さな数ではありません。1秒間に10万回測定するセンサなら、1秒に約270回は ±6 cm を超える計算になります。

④ 使い分けの目安

分布	何を表すか	形を決めるもの	自動運転での例
二項分布	決まった回数の試行のうち、成功（失敗）した回数	試行回数 n、成功確率 p	100回の試験走行で歩行者を検出できた回数
ポアソン分布	一定の距離・時間の中で、稀な出来事が起きる回数	平均回数 m（＝発生率 λ × 距離や時間）	1万kmあたりの事故やドライバー介入の回数
正規分布	多くの小さな要因が重なった測定値のばらつき	平均 μ、標準偏差 σ	センサの距離測定の誤差

まとめ

確率分布は「起こりうる結果と、その起きやすさ」の一覧
回数を数えるなら、試行回数が決まっていれば二項分布、稀な出来事を距離・時間で数えるならポアソン分布。連続的な測定値のばらつきなら正規分布
正規分布の目安：平均 ±σ に約68%、±2σ に約95%、±3σ に約99.7%

確認クイズ

Q1. 検出率90%の検出器で、2回の試験が2回とも成功する確率は？

81%。0.9 × 0.9 = 0.81 です（二項分布で n = 2、k = 2 の場合）。

Q2. 平均して1日2回介入が起きる試験車両で、ある日の介入が0回になる確率は？

約13.5%。ポアソン分布で $P(N=0) = e^{-2} \approx 0.135$ です。

Q3. 誤差が平均0・標準偏差2 cm の正規分布に従うとき、±4 cm を超える測定はおよそ何%？

約5%。±4 cm は ±2σ にあたり、その内側に約95% が入るので、外側は約5% です。

Q4. 次のうち、ポアソン分布で表すのが最も自然なのは？（a）100回の試験での検出成功回数（b）1万kmあたりの事故件数（c）距離センサの誤差

（b）。稀な出来事を一定の距離の中で数えるのでポアソン分布です。（a）は試行回数が決まっているので二項分布、（c）は連続的な測定値のばらつきなので正規分布が目安になります。

もっと知りたい人へ

次の回：1.4 期待値と分散
関連：1.2 条件付き確率とベイズの定理、1.8 稀な事象の統計（ポアソン分布を使う）、1.9 極値と裾の重い分布
解説動画：YouTube（約5分30秒）（静止画のスライドと音声で要点を説明。英語版の記事には英語の動画があります）