Part 1 · 確率・統計

1.4 期待値と分散

「平均」と「ばらつき」——平均が同じでも、安全とは限らない

この回で分かること

期待値 を「確率で重みづけした平均」として計算できる
分散・標準偏差 で「ばらつきの大きさ」を数字で表せる
平均が同じでも、ばらつきが違えば安全性の評価が変わることを説明できる

直感で理解する

2台の自動運転車 A と B に、停止線の手前で止まる試験をそれぞれ6回ずつ行いました。停止した位置（停止線の何 m 手前か）は次のとおりです。マイナスは停止線を越えたことを表します。

	1回目	2回目	3回目	4回目	5回目	6回目	平均
車両A	1.1	0.9	1.0	1.0	1.1	0.9	1.0 m
車両B	1.8	0.2	1.5	−0.3	1.2	1.6	1.0 m

平均はどちらも停止線の 1.0 m 手前。しかし B は位置が大きく散らばり、6回に1回は停止線を越えている。

平均だけを見ると、A と B はどちらも「停止線の 1.0 m 手前」で同じ成績です。しかし B は6回に1回、停止線を越えています。安全性を語るには、平均に加えて ばらつき を数字で表す必要があります。

数式で確かめる

① 期待値：確率で重みづけした平均

確率分布（1.3）に従う量 $X$ の「平均的な値」を 期待値 $E[X]$ と呼びます。とりうる値それぞれに、その確率を掛けて足し合わせたものです。

$$E[X] = \sum_{i} x_i \, P(X = x_i)$$

例：ある区間を走るときのドライバー介入の回数 $X$ が、0回（50%）、1回（30%）、2回（20%）だとすると、

$$E[X] = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.2 = 0.7\ \text{回}$$

データの平均 $\bar{x}$（0.2）は、この期待値をデータから見積もったものです。上の表の平均 1.0 m も同じ考え方です。

② 分散と標準偏差：ばらつきの大きさ

ばらつきは「平均からのずれ」で測ります。ただ、ずれはプラスとマイナスで打ち消し合ってしまうので、2乗してから平均します。これが分散です。分散は単位も2乗（m²）になるため、平方根をとって元の単位に戻したものを 標準偏差 $\sigma$ と呼びます。

$$\mathrm{Var}(X) = E\big[(X - \mu)^2\big], \qquad \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$

ここで $\mu = E[X]$（平均）です。上の表のデータで計算してみます。A のずれは 0.1、−0.1、0、0、0.1、−0.1 なので、

$$\sigma_A = \sqrt{\frac{0.1^2 + 0.1^2 + 0^2 + 0^2 + 0.1^2 + 0.1^2}{6}} \approx 0.08\ \mathrm{m}$$

B のずれは 0.8、−0.8、0.5、−1.3、0.2、0.6 なので、

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{0.8^2 + 0.8^2 + 0.5^2 + 1.3^2 + 0.2^2 + 0.6^2}{6}} \approx 0.78\ \mathrm{m}$$

B のばらつきは A の約10倍です。なお、手元のデータから「本当のばらつき」を推定するときは、6 ではなく 6 − 1 = 5 で割ることがあります。その理由は 1.6 で扱います。

③ 1.3 の分布の期待値と分散

分布	期待値	分散	1.3 の例では
二項分布（n, p）	$np$	$np(1-p)$	n = 10, p = 0.9 → 期待値 9回、σ ≈ 0.95回
ポアソン分布（m）	$m$	$m$	m = 2 → 期待値 2回、σ ≈ 1.41回
正規分布（μ, σ）	$\mu$	$\sigma^2$	μ と σ がそのまま平均とばらつき

④ ばらつきを見込んで「余裕」を決める

停止位置が正規分布に従うと仮定すると、1.3 の目安（平均 ± 3σ に約99.7%）が使えます。

車両A：平均 − 3σ ＝ 1.0 − 3 × 0.08 ≈ 0.76 m。ほぼ確実に停止線の手前で止まる
車両B：平均 − 3σ ＝ 1.0 − 3 × 0.78 ≈ −1.3 m。停止線を越える確率は約10% と見積もれる

B で「停止線を越える確率を 0.1% 以下」にしたいなら、平均を 3.1σ ≈ 2.4 m 以上手前にとるか、ばらつき σ そのものを小さくする必要があります。安全設計では、余裕（マージン）を増やす か ばらつきを減らす かの二択を、この計算で比べます。ただし、6回のデータで σ を決めるのは本来は少なすぎます。見積もりの確かさは 1.6 で扱います。

発展：条件ごとの率を、遭遇頻度で重みづける

①の期待値は「値 × 確率」を足したものでした。安全の見積もりでも、同じ形がよく出てきます。事故率が条件（天候、道路、時間帯など）ごとに違うとき、ODD 全体の事故率は、条件ごとの率 $\lambda_i$ を「その条件に出会う割合」$w_i$（遭遇頻度）で重みづけした期待値です。

$$\lambda_{\text{全体}} = \sum_i w_i\, \lambda_i$$

例：走行の 90% が晴れ、10% が雨で、雨の事故率が晴れの 10 倍だとします。晴れの率を 1（相対値）とすると、全体は 0.9 × 1 ＋ 0.1 × 10 ＝ 1.9 で、晴れだけを測った値の約 2 倍です。しかも全体の事故の半分以上（1.0 ÷ 1.9 ≈ 53%）が、走行の 1 割しかない雨で起きています。雨の割合が 20% に増えれば 2.8 になり、逆に雨を ODD から外せば（雨では機能を使わない）1 に戻ります。

この式が教えてくれることは3つあります。(1) 全部まとめた平均は、少数の厳しい条件に引きずられる。(2) 試験の条件の割合が実際の遭遇頻度と違えば（晴れの日ばかり試験する）、見積もりはずれる。(3) 条件ごとの率 $\lambda_i$ と遭遇頻度 $w_i$ の両方を測る必要がある。ODD の条件を表にして試験の網羅性を確かめること（5.6、5.9）も、未知の危険の見積もりを条件ごとに足し合わせること（5.2）も、この形の計算です。ODD の決め方は 4.1 で扱います。

まとめ

期待値は「値 × 確率」の合計。データの平均はその見積もり
分散は「平均からのずれの2乗の平均」、標準偏差はその平方根（元の単位に戻したもの）
平均が同じでも、ばらつきが大きいと危険側に外れやすい。安全マージンは σ を見込んで決める

確認クイズ

Q1. 介入回数が 0回（60%）、1回（30%）、3回（10%）のとき、期待値は？

0.6回。0 × 0.6 + 1 × 0.3 + 3 × 0.1 = 0.6 です。

Q2. データ 2、4、6 の分散と標準偏差は？（個数 3 で割る）

分散約2.67、標準偏差約1.63。平均は 4、ずれは −2、0、2 なので、2乗の平均は (4 + 0 + 4) ÷ 3 ≈ 2.67。その平方根が約1.63 です。

Q3. 停止位置の平均が停止線の 2.0 m 手前、標準偏差が 1.0 m（正規分布と仮定）のとき、停止線を越える確率はおよそ？

約2.5%（正確には約2.3%）。停止線は平均から 2σ 下にあたります。±2σ の外側は約5% で、そのうち停止線を越える側は半分なので約2.5% です。

もっと知りたい人へ

次の回：1.5 大数の法則と中心極限定理
関連：1.3 確率分布、1.6 推定と信頼区間（n − 1 で割る理由）、1.9 極値と裾の重い分布
解説動画：YouTube（約4分）（静止画のスライドと音声で要点を説明。英語版の記事には英語の動画があります）

分布	期待値	分散	1.3 の例では
二項分布（n, p）	\(np\)	\(np(1-p)\)	n = 10, p = 0.9 → 期待値 9回、σ ≈ 0.95回
ポアソン分布（m）	\(m\)	\(m\)	m = 2 → 期待値 2回、σ ≈ 1.41回
正規分布（μ, σ）	\(\mu\)	\(\sigma^2\)	μ と σ がそのまま平均とばらつき