Part 1 · 確率・統計

1.6 推定と信頼区間

手元のデータから真の値を推し量る

読了目安 10分前提：1.5 大数の法則と中心極限定理▶ 動画（約5分）

この回で分かること

点推定 と 区間推定 の違いを説明できる
割合や平均の95%信頼区間を「推定値 ± 2 × 標準誤差」で計算し、要求を満たすかを判断できる
信頼区間の正しい読み方、n − 1 で割る理由、データが少ないときの注意を説明できる

直感で理解する

1.5 では「本当の検出率が90%と分かっているとき、観測される値がどれくらいばらつくか」を見ました。実際の試験は逆で、本当の値は分かりません。手元にあるのは試験の結果だけです。

ある検出器を 200回 試験したら 180回 検出できたとします。検出率は 180 ÷ 200 ＝ 90%。でも、本当の検出率が「ちょうど90%」とは限りません。88%かもしれないし、92%かもしれません。

そこで「本当の値は、たぶんこのくらいの範囲にある」と幅をもって答えます。これが 信頼区間 です。今回の結果なら、95%信頼区間はおよそ 86%〜94% になります（計算は下で）。

信頼区間は判断に使えます。「検出率85%以上」という要求があるとき、区間の下限（86%）が85%を上回っているので、信頼度95%で「要求を満たす」と言えます。ところが同じ90%でも、100回中90回 の結果だと区間は84%〜96%に広がり、下限が85%を下回るため、まだそうは言えません。同じ「90%」でも、試験の回数によって言えることが変わる のです。

本当の検出率が90%の検出器で「200回の試験」を20回くり返し、そのたびに95%信頼区間を作った例（シミュレーション）。19本は本当の値（点線）を含み、1本（赤）は外れた。「区間を作る方法として、約95%の割合で本当の値を含む」というのが95%信頼区間の意味。

数式で確かめる

① 点推定と区間推定

データから本当の値を1つの数で見積もるのが 点推定、幅をもって見積もるのが 区間推定 です。推定値には「ハット」を付けて $\hat{p}$ のように書きます（記号表）。

$$\hat{p} = \frac{180}{200} = 0.90$$

② 95%信頼区間：推定値 ± 2 × 標準誤差

1.5 の標準誤差を、本当の値の代わりに推定値で計算し、その2倍を幅にとります（より正確には、2の代わりに1.96を使います）。

$$\hat{p} \pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.90 \pm 2\sqrt{\frac{0.90 \times 0.10}{200}} = 0.90 \pm 0.042$$

つまり86%〜94%（正確には85.8%〜94.2%）です。平均の場合も同じ形で、データの標準偏差を s として $\bar{x} \pm 2\,s/\sqrt{n}$ になります。100回中90回なら $2\sqrt{0.9 \times 0.1 / 100} = 0.06$ で84%〜96%。回数が半分になると、幅は √2 倍（約1.4倍）に広がります。

③ 信頼区間の正しい読み方

「この区間に本当の値が95%の確率で入っている」と言いたくなりますが、厳密には少し違います。本当の値は決まった1つの値で、変わるのは試験のたびに作られる区間のほうです。95%というのは 区間を作る方法の当たりやすさ で、同じ方法で何度も区間を作ると、約95%が本当の値を含む、という意味です（上の図）。

ふだんの説明で「本当の値はおそらくこの範囲」と言うのは問題ありません。ただし、手元の1回の区間が外れている可能性（20回に1回くらい）は、いつも残っています。

もう1つ、安全の場面で大事な読み方があります。安全の要求はふつう「見逃し率は 3% 以下」のように片側です。上に外れることだけが問題で、下に外れるぶんは気にしません。このときは、両側に 2.5% ずつ外す ± 2 × 標準誤差の区間ではなく、上側だけに 5% を外す 片側の上限「推定値＋ 1.64 × 標準誤差」で判断します。例：1,000 回の試験で見逃しが 20 回（2%）なら、標準誤差は約 0.44% で、両側 95% の区間は 1.1〜2.9%、片側 95% の上限は約 2.7% です。同じ信頼度 95% でも、両側の上端（2.9%）は片側の上限（2.7%）より厳しめになります。1.8 の「3の法則」も片側の上限です。結果を書くときは「95% 片側上限 2.7%」のように、信頼度と片側・両側を明記します。→ 5.5

④ n − 1 で割る理由

1.4 では、ばらつきを個数 n で割って計算しました。しかし、手元のデータから本当のばらつきを推定するときは、n − 1 で割ります。

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

理由は、ずれを「本当の平均 μ」ではなく「データから計算した平均 $\bar{x}$」から測っているためです。$\bar{x}$ はそのデータにいちばん近くなるように決まるので、ずれは本当より小さめに出ます。n − 1 で割ると、この小さく出る分を平均的に補正できます。こうして求めた $s^2$ を 標本分散、その平方根 s を標本標準偏差と呼びます。1.4 の車両Bでは、n で割ると 0.78 m、n − 1 で割ると 0.85 m です。データが多ければ差はわずかですが、6件のように少ないと無視できません。

⑤ データが少ないとき・失敗ゼロのとき

データが少ないときは「2」では足りません。本当のばらつきまで推定しているぶん不確かさが増えるためで、代わりに t分布 の値を使います。

データの数 n	6	11	31	とても多い
「2」の代わりに使う値（95%）	2.57	2.23	2.04	1.96

1.4 の車両Bの停止位置（6回、平均 1.0 m、s ＝ 0.85 m）なら、平均の95%信頼区間は $1.0 \pm 2.57 \times 0.85/\sqrt{6} \approx 1.0 \pm 0.89$ m です。本当の平均は 0.1 m〜1.9 m のどこにあってもおかしくない、というほど広い区間になります。

また、失敗が1回も起きていないとき、上の式は $\hat{p} = 0$ で幅も0になってしまい、使えません。この場合は 1.8 の 3の法則（失敗率の上限はおよそ 3/n）を使います。これは、片側だけの信頼区間の上限にあたります。

まとめ

点推定は1つの数、区間推定は幅。95%信頼区間はおよそ「推定値 ± 2 × 標準誤差」
95%は「区間を作る方法の当たりやすさ」。同じ方法で何度も作ると、約95%が本当の値を含む
本当のばらつきは n − 1 で割って推定する。データが少なければ t分布の値を、失敗ゼロなら3の法則を使う

確認クイズ

Q1. 400回の試験で380回検出できました。検出率の点推定と、95%信頼区間（± 2 × 標準誤差）は？

点推定は95%です。標準誤差は $\sqrt{0.95 \times 0.05 / 400} \approx 0.011$ なので、95% ± 2.2%、およそ92.8%〜97.2%です。

Q2. 要求は「検出率90%以上」。100回中93回検出しました。信頼度95%で要求を満たすと言える？

言えません。93% ± $2\sqrt{0.93 \times 0.07 / 100}$ ≈ 93% ± 5.1% で、下限は約87.9%。90%を下回るので、もっと試験を重ねる必要があります。

Q3. 95%信頼区間の説明として、より正確なのは？（a）この区間に本当の値が95%の確率で入っている（b）同じ方法で何度も区間を作ると、約95%の区間が本当の値を含む

（b）です。本当の値は決まった値で、変わるのは区間のほうです。ふだんの説明で（a）のように言っても大きな問題はありませんが、意味としては（b）が正確です。

Q4. 1,000 km 走って事故ゼロでした。± 2 × 標準誤差の式で事故率の信頼区間を作ると、どうなる？

推定値が0で幅も0になり、「事故率ゼロ」という誤った結論になってしまいます。失敗ゼロのときは3の法則を使い、上限はおよそ 3 ÷ 1,000 km、つまり「約333 kmに1件」までしか言えません。

もっと知りたい人へ

次の回：1.7 仮説検定
関連：1.4 期待値と分散、1.5 大数の法則と中心極限定理、1.8 稀な事象の統計
用語集：信頼区間・信頼度、点推定・区間推定、標本分散、t分布
解説動画：YouTube（約5分）（静止画のスライドと音声で要点を説明。英語版の記事には英語の動画があります）