1.2 条件付き確率とベイズの定理

直感で理解する

車載カメラの歩行者検出器を考えます。条件は次のとおりです。

• 走行中の映像のうち、歩行者が写っているフレームは 0.1%
• 歩行者が写っていれば、検出器は 99% の確率でアラームを出す
• 歩行者がいなくても、1% の確率で誤ってアラームを出す

では、アラームが鳴ったとき、本当に歩行者がいる確率はどれくらいでしょう？ 「99%」と答えたくなりますが、実際は 約9% です。

確率のままだと分かりにくいので、10万フレーム で数えてみます。

• 歩行者あり：10万 × 0.1% ＝ 100フレーム → うち99%の 99回 でアラーム
• 歩行者なし：99,900フレーム → うち1%の 999回 で誤報

アラームは合計 1,098 回。そのうち本物は 99 回だけです。

ポイントは、そもそも歩行者がいる場面が稀（0.1%）だということです。稀な事象を探すとき、小さな誤報率でも「母数の多さ」に掛け算されて、本物より多くなってしまいます。

数式で確かめる

「Aが起きたという条件のもとでBが起きる確率」を \(P(B \mid A)\) と書き、条件付き確率 と呼びます。

ここで \(H\)＝「歩行者がいる」、\(A\)＝「アラームが鳴る」とします。知りたいのは \(P(H \mid A)\) ですが、分かっているのは逆向きの \(P(A \mid H)\) です。この向きをひっくり返すのが ベイズの定理 です。

数字を入れると、10万フレームで数えた結果と一致します。

\(P(H)\) を 事前確率（データを見る前の見込み）、\(P(H \mid A)\) を 事後確率（アラームという証拠を見た後の見込み）と呼びます。

発展：試験の合格は、どれだけの証拠か

ベイズの定理は、アラームだけでなく「試験に合格した」という証拠にも使えます。ある機能が、要求を満たしている（安全側）か、実は満たしていない（危険側）かのどちらかだとします。危険側でも、1回の試験には 90% で合格してしまうとしましょう（見逃す確率が要求の10倍でも、1回では分かりません）。安全側なら合格率は 99% です。n 回続けて合格したとき、その結果が安全側と危険側のどちらで起きやすいかの比を 尤度比 と呼びます。

n = 10 なら約 2.6 倍、n = 100 なら約 1.4 万倍です。試験の前の見込みを「安全側 : 危険側」の比（オッズ）で表しておくと、ベイズの定理は次の簡単な形になります。

かなり疑ってかかる「1 : 9」から始めると、10 回の合格では 1/9 × 2.6 ≈ 0.29、つまり安全側の確率は約 22% で、まだ危険側のほうが見込みが高いままです。100 回の合格ではじめて、安全側が 99.9% を超えます。

「合格した」という事実の重さは、その試験が危険側をどれだけ落とせるか（1 − 0.90）で決まります。回数の少ない試験や、危険側でも通ってしまう甘い試験は、合格しても証拠として弱いのです。「差を見つける力」（1.7 の検出力）と同じ考え方で、セーフティケース（5.10）で証拠の強さを比べるときの土台になります。

まとめ

• \(P(B \mid A)\) は「Aが起きた世界の中で、Bが占める割合」
• ベイズの定理は、\(P(A \mid H)\) から \(P(H \mid A)\) へ向きをひっくり返す道具
• 稀な事象の検出では、事前確率の低さが誤報の多さにつながる

確認クイズ

もっと知りたい人へ

• 次の回：1.3 確率分布
• 関連：2.7 評価指標、5.3 機能不十分とトリガー条件
• 演習：Colabで数値を変えて試すノート（準備中）
• 解説動画：YouTube（約4分）（静止画のスライドと音声で要点を説明。英語版の記事には英語の動画があります）
• 関連：1.8 稀な事象の統計 — 稀な事象を「数える」側の話