高次元の一様充填形

Last update: 2002/10/22

一様充填形に関する話題

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高次元の一様充填形

多面体は、球面を覆う形と捉えることで球面充填形と考えることも出来ます。 球面も広い意味での(2次元の)双曲平面(曲率が正の双曲平面)ですので、 一様多面体は双曲平面一様充填形の一種と捉えることも出来ます。

では、3次元以上の高次元の双曲空間ではどうでしょうか。 高次元正充填形(正多面体)については完全に調べられており、 例えば、曲率が正の3次元双曲空間(4次元超球の球面上)では 4次元正多胞体(Regular Polychora)が星形のものを含め 16種類も構築できます。 しかし、それ以上の次元では正多胞体(Regular Polytopes)は、 各次元に3個ずつしかありません。 また、曲率が 0 の双曲空間(ユークリッド空間)や 曲率が負の双曲空間(狭義の双曲空間)でも、 幾つかの星形正充填形を含む高次元正充填形が 構築可能なことが分かっています。

しかしながら、一様充填形(一様多胞体)については、 あまり研究されていないようです。 例えば、4次元一様多胞体(Uniform Polychora)は 少なくとも 8190 個ある [members.aol.com/hedrondude/polychora.html] ようですが、これで全てかは分かっていません。 さらに高次元の場合は、凸なものについてでさえ 次元があがるとその種類が爆発的に増えるのと、 我々3次元に住む者にとっては図形を直感的に把握するのが 困難であるため、ほとんど研究されていないのではと思います。 (少なくとも Web 上にまとまった情報は無いと思います。)

そうしたこともあり、高次元一様充填形(一様多面体)、 特に4次元一様多胞体についても サイトを作りたいのですが、PC (たかだか2次元)上に表示することが 困難を極める(ほとんど不可能)ので、二の足を踏んでいます。

高次元の正充填形(正多面体)の一覧表
曲率が正の n 次元双曲平面(n+1 次元球の球面)の正充填形が
n+1 次元の正多面体に相当する。
次元 (曲率) 個数 Schläfli の記号
1 球面(正)   {p} (p≧3)
星形 {p/q} (p≧5, p/2>q, p/q は既約)
平面(0)   1 1 {∞}
双曲平面(負)   0  
2 球面(正)   9 5 {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, {5,3}
星形 4 {3,5/2}, {5/2,3}, {5,5/2}, {5/2,5}
平面(0)   3 3 {3,6}, {6,3}, {4,4}
双曲平面(負) 有限型   {p,q}, {q,p} (1/p + 1/q < 1/2)
星形 {p,p/2}, {p/2,p} (p≧7, p は奇数)
半無限型 {p,∞}, {∞,p} (p≧3)
双無限型 1 1 {∞,∞}
3 球面(正)   16 6 {3,3,3}, {3,3,4}, {4,3,3}, {3,4,3}, {3,3,5}, {5,3,3}
星形 10 {3,3,5/2}, {5/2,3,3}, {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {3,5/2,5}, {5,5/2,3}, {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}
平面(0)   1 1 {4,3,4}
双曲平面(負) 有限型   4 4 {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
星形 0  
半無限型 6 6 {3,4,4}, {4,4,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {5,3,6}, {6,3,5}
双無限型 3 3 {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4}
4 球面(正)   3 3 {3,3,3,3}, {3,3,3,4}, {4,3,3,3}
星形 0  
平面(0)   3 3 {3,3,4,3}, {3,4,3,3}, {4,3,3,4}
双曲平面(負) 有限型   9 5 {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
星形 4 {3,3,5,5/2}, {5/2,5,3,3}, {3,5,5/2,5}, {5,5/2,5,3}
半無限型 2 2 {3,4,3,4}, {4,3,4,3}
双無限型 0 0  
5 球面(正)   3 3 {3,3,3,3,3}, {3,3,3,3,4}, {4,3,3,3,3}
星形 0  
平面(0)   1 1 {4,3,3,3,4}
双曲平面(負) 有限型   0 0  
星形 0  
半無限型 2 2 {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}
双無限型 3 3 {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4}, {4,3,3,4,3}
n≧6 球面(正)   3 3 {3^n}, {3^n-1,4}, {4,3^n-1}
星形 0  
平面(0)   1 1 {4,3^n-2,4}
双曲平面(負) 有限型   0 0  
星形 0  
半無限型 0 0  
双無限型 0 0  

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