みんな大好き日評数学選書。リー環の話を読むつもりだったが、こっちからに した。なんせ入門だもんな。 この本は、あまり親切でないです。いろいろと接続詞や修飾語を補ってやる必 要があります。プロの数学者は、この方が読み易いのかもしれないけど、素人 数学書読みにとっては、時々落ちます。 SO(3)の作用とΔは交換する(ΔLg=LgΔ)から SO(3)は、Δの核 Unに作用する、 と言われても、私にはさっぱりです。そりゃなんにでも作用するだろうさ。 X∈Unに対して、ΔX=0だから、 ΔLgX=LgΔX=0となるので、 X∈Unに対して、LgX∈Un である。(SO(3)の作用に対して、Unは閉じている)。 ということを指して「SO(3)が作用する」と言っている、と想像されます。 万事この調子です。でもまあ、線型代数の範囲でリー群を解説しようという試 みはそれなりにうまくいっていて、リー群が最近やっと判り始めた私にもわか りそうです。手を動かせば結果が出てくる、というあたりが良い点でしょう。 既約ディンキン図がA〜E8までしかないことは、どのリー環の本にも載ってい ますが、大抵その前後で疲れてしまって読み飛してしまっていました。今回は 早い時期に登場しますので、理解できました。なるほどー。拡大ディンキンの 意味ってそういうことなのね。 ちなみに、B型のディンキンチェンバーはルートで仕切られた空間になるが、A 型は、ルートの間に仕切りが来るはず。ということについて全然書いてなくて、 B型やD型の話しかしてないと勘違いしそう。 球関数とSO(3)、SU(2)の表現論については、(x,y,z)や、(x,y)の同時n次多項 式のx,y,zに対してSO(3)なり、SU(2)なりをApplyしたときの係数の変換が、既 約表現をなしている、という説明は、これまで物理屋の出してくる例たちより 具体的でおもしろかった。 SU(2)は、2x2の特殊ユニタリー行列のなす群なわけだけど、SU(2)の3次元表現 とか、1次元表現ってのはいったいなんなんだ。と思ったり、納得したりを繰 りかえしている。 g∈SU(2)から、GL(n,C)へのリー群としての準同型写像があって、それをn次元 表現と呼ぶわけだけど。そのへんがやっと判ってきたかなあ。 付録は全パス。