買ったのはずいぶん前だが、読んでなかった。「物理におけるリー代数」「群 と物理」がどうにもわからんので、いきおいで手を出す。 伝聞だったか、直接聞いたんだか忘れてしまったが、作者自身はあまりこの本 に対してポジティブでないということだった。寄せ集め的だ、ということで。 (という記憶があったので、あまり真面目に読もうとしなかった)。 しかし、読んでみてわかったのだが、とってもバランスが取れていて良い本で ある。少なくとも私が持っている、「群と物理」、「応用群論」という物理の ための群の本他2冊よりはずっとバランスが取れている。 前半の有限群論も、後半のリー群論も記述は平易で直感的。要点は外してない。 記述は、まず定理を述べ、その意味を述べ、直感的な証明概略を与える、とい う方式で、とてもよい。 本人の語り口を思い出してしまった。 たしかに内容的には寄せ集めなのかも知れないが、著者の直感を大切にする表 現で書き直されたこの本は、やっぱり吉川先生の本になっていると思ってしまっ た。 ちなみに、Lie群のところを式を追ったが、結構符号のミスがあった。 クリティカルなミスではないのだが、あらっと思わせる。 逆に言えば、符号のミスをする程度には、著者本人が手を動かして執筆した、 ということだろう。 ちなみに刊行中の朝倉の応用数学の基礎シリーズには同名の「群と表現」が入っ ている。著者の加藤氏もやっぱり知っている人(向うはこっちを覚えてないだ ろうが)なのだった。
リー群論では、リー群それ自身の表現を考えるかわりに、リー環の表現を考え ることが多い。とまず、私の混乱を正してくれた。 考えているのは、リー群ではなく、リー環なのであった。 リー代数は(有限生成の)代数であるから、いくつかの基底に係数をかけること で、全体を構成できる。 リー代数の基底を決めるのが課題である。リー代数の基底は、リー代数の部分 集合である。 [X,Y] は双線型である。双線型な演算子に対して、基底がどのように変換され るのかを見れば、演算子の行列表現ができる。(内積は必要だっけ)。 [X,ei]=ej aji であれば、[X,-]の行列表現として、(aij)を取ることができる。 というようなわけで、aij つまりルートの行列表現が決まる。 問題はカルタン部分代数の表現で、カルタン部分代数は互いに交換する。この 部分は、同時対角化した行列とする。 いまいち、ストーリーになってないな。 とにかくわかったのは、ウェイト図の各点各点が、独立したstateになってい る。カルタン部分代数 は H_iは 各点各点からウェイトつまり固有値を出す。 E_a は昇降演算子であるから、stateとstateを結ぶ非対角要素をもった行列で ある。非対角要素の値が、N(a,mu)である。 カルタン標準系で書いても、リー環はリー環である。 交換関係を決めればリー環は決まるが、リー環の基底の選び方はいろいろだ。 ということで、リー群についての私の混乱は一応収束した。 SU(3)で手を動かすと、一番良く判るな。 しかし、縮退の条件がよくわからなかった。機械的に、降演算子をかけていけ ば、許されるウェイトの種類は計算できるが、行き方が複数通りある場合、ど れが独立なのだろうか。ということで、やっぱり何次元表現になっているかを 機械的に求めるのはまだわからないのであった。 なんというか、じっくり、ゆっくり読んで、理解できる、私に非常によくあっ た本だった。 2004/04/14