昨年末の「加群十話」いらい、ヤング図形に魅了されている。 ヤング図形とは、□を左上寄せで並べた図。 □□□ □□ □□ □ みたいな図。ここに、数字をいれる。その入れ方からいろいろなものが見えて くる。 n個の箱に1からnまでの数字を並べるのに、右、下ほど大きくなるように並べ ると、その並べかたから、n次の置換群の既約表現が出てくる。 素敵だ。これを「加群十話」で知って、ヤング図形っておもしろい、と思って しまった。 あるヤング盤の'形'λに対する数字の入れ方をf(λ)とすると、 n!=Σf(λ)^2 という関係がある。 試してみる。n=3の場合 λ＝□□□ １２３ f(λ)=1 λ＝□□ １２ １３ f(λ)=2 □ ３ ２ λ＝□ １ f(λ)=1 □ ２ □ ３ 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6 3! = 3*2*1 = 6 正しい。この本「ヤング図形のはなし」は、この式を軸にヤング図形を遊ぶ本 である。 ヤング図形に1個箱を加えるオペレータをU, 1個箱を取るオペレータをDとする と、DU-UD=1 となる。やってみる。 U D □□ → □□□ → □□ □□□ □ □ □ → □□ → □□ □ □ □ □ □ □ → □□ → □□ □□ □ D U □□ → □□ → □□ □□□ □ □ → □ → □□ □ □ □ □ □ ということで、引き算(DU-UD)は、横3つと縦3つはそれぞれ1個ずつあるのでキャ ンセルし、元と同じ形が(3-2)個だから、元と同じ形が一個残る。DU-UD=1 。 このDU-UD=1を使うと上のf(λ)^2と n!の関係の式が証明できたりする。 物理の人は、[D,U]=1と書いて、量子化とか思ってしまう。なにが量子化され たんだ？ これは、Differential poset(partially ordered set)の一般的な性質だそうで す。と言われるといわゆる量子化、たとえば、角運動量の合成stateの系列は、 Differential posetなのか？とか思う。(ちがう[少なくとも定義通りではない]、 でも、直積表現と半単純盤との関係はあるんだから、関係あるんだろうな)。 Differentialなんだから、そりゃまあポアソン括弧と関係があるとか考えてみ たりする。結晶の成長みたいなものと考えて、モデルを、とか思ってみる。 この辺の話は、なんかわくわくしてしまう。 シュペヒト多項式との関係から、標準ヤング盤がCnの既約表現と対応している、 という4章以降の話は、「加群十話」を読んだときより感動はなかった。 知ってるから、というのもあるが、 噛み砕いて説明しているのが、噛み砕かれすぎて、論を追うのがかったるくなっ てしまうのだ。「加群十話」では、迷子になってしまうことがあったが、「ヤ ング図形のはなし」では、迷子にはならないが、渋滞に巻き込まれてしまう。 半ページほど苦労して苦労して、読んでから、「そりゃまあそうだろう、」み たいなことを思ったりした。まあ、はやとちりが多い人間ではあるのだが。 表現の既約分解、ということの意図するところが、(やりすぎくらい)具体的に よくわかった。 ちなみに、リー群の表現で出てくるヤング図形は、2つの表現の直積表現の既 約分解を求めるのに使うのだけど、 上と同様、同じ列に同じ数字の登場を許さない(反対称だから)が、同じ行には 同じ数字の登場を許す。また、下には < 、 右には <= でヤング盤に数字を入 れたもの、で、半標準盤というものになる。 この本には半標準盤のことは、「おわりに」で触れられているのみ。半標準盤 の表現論的解釈とGL(n,C)の直積表現、というのが、最後の最後の3ページほど に触れられている。けど、あまりに簡略すぎて、私には具体的イメージを描く のは難しかった。