双曲幾何

昨年読んだ本リストに入れていながら、実は1章しか読んでないので、今回改
めて読んだ。

わりと淡々と読んでしまった。(最後の章はながし読み)。
双曲面モデルはイメージが描けず、この場合の平行ってなんなのさ、と悩む。
実は知りたかったのは、Smith-chartと呼ばれる作図法があって、
(1+z)/(1-z)で写像して作図するような手法なのだけど、どうせなら正則写像
全般について勉強したのだ。f(z)=(1+z)/(1-z)は、

1→∞
0→1
∞→-1

f(z)は、GL(2,Z)で書けば、
( 1 1)
(-1 1)
なので、
(0 i)(-1 1)(0 i)(1 0)(1 1)
(i 0)(0 -1)(i 0)(0 2)(0 1)
と書けて、
1/z   -z+1  1/z  z/2  z+1
という写像の合成であることがわかる。(そのまま計算してもいいけど)。

f(z)は、SL(2,C)で書けば、
(1/√2  1/√2)
(-1/√2 1/√2)
Jordan標準形に持っていくと、
((1+i)/√2  0        )
( 0         (1-i)/√2)
なので、楕円的写像であった。

双曲面は、-x0^2+x1^2+x1^2=-1という、双曲線を回転させた面なのだが、
双曲面自身は、スペースライクにひろがっているので、その測地線もスペース
ライクで、だから、光速まで減速していくタキオンの軌跡と思うんだけど、合っ
てる？