中級問題　その１の答

　１　　１　　１
　― ＋ ― ＝ ―
　ｘ　　ｙ　　６

を満たす異なる正の整数 ｘ と ｙ を求めよ。

　ｘ ＋ ｙ　　１
　―――― ＝ ―
　　ｘｙ　　　６

　ｘｙ−６ｘ−６ｙ＝０

　（ｘ−６）（ｙ−６）＝６×６

煩雑さを避けるためにｘについてだけ考えると、ｘ−６の値は６×６つまり３６の約数だが、６だけは題意に合わない。

　１，２，３，　４，（６），　９，１２，１８，３６

　つまりｘの値は、

　７，８，９，１０，（　），１５，１８，２４，４２

　ｎ＝２やｎ＝３の時は、答となるｘ，ｙの値は二組だったが、ｎ＝６の時は８組になるのは何故か。それは６が素数ではなく、２，３という２つの素因数を持つからだ。

　ある数の約数をすべて求める公式もあるのだろうが、私は知らない。誰か教えてほしい。上のマトリックスが正しい方法なのかどうかも私は分からない。ただ、ある数の約数の個数を求める公式はよく知られており、それによれば３６の約数は９個あり、上の表を見ると、公式と一致している。

中級問題　その２の答

　１　　１　　 １
　― ＋ ― ＝ ――
　ｘ　　ｙ　　６０

を満たす異なる正の整数 ｘ と ｙ を求めよ。

　ｘ ＋ ｙ　　 １
　―――― ＝ ――
　　ｘｙ　　　６０

　ｘｙ−６０ｘ−６０ｙ＝０

　（ｘ−６０）（ｙ−６０）＝６０×６０

　煩雑さを避けるためにｘについてだけ考えると、まず３６００のすべての約数を求めなければならない。これは根気よく求める方法はあるが、今のところ「エレガントな」方法は思いつかない。誰か教えてほしい。結局、エクセルを使って、３６００を１〜３６００のすべての数で割って、整数解がでる場合を調べたら難なく出来たが、これは数学的な解法とは言えないだろう。ともかく、３６００の約数は……全部書いてもあまり意味がないので、省略する。約数の数は４５個で、公式を使った計算と一致していた。ｘの値は、一つ一つの約数に６０を足した値である。ただしｘ−６０＝６０は除く。

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